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如圖所示,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn).

(1)證明PA∥平面EDB;

(2)求EB與底面ABCD所成角的正切值.

(1)證明:如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,D為坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)DC=a,

連結(jié)AC交BD于G,連結(jié)EG.

依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,).

∵底面ABCD是正方形,

∴G是此正方形的中心.

故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(,0).

∴=(a,0,-a),=(,0,-).

∴,這表明PA∥EG.

而EG平面EDB且PA平面EDB,

∴PA∥平面EDB.

(2)解:依題意得B(a,a,0)、C(0,a,0)，如上圖所示.

取DC的中點(diǎn)F(0,,0),連結(jié)EF、BF.

∵=(0,0,),=(a,,0),=(0,a,0),

∴

∴FE⊥FB,FE⊥DC.

∴EF⊥底面ABCD.BF為BE在底面ABCD內(nèi)的射影,

故∠EBF為直線EB與底面ABCD所成的角.

在Rt△EFB中,

∴tan∠EBF=

∴EB與底面ABCD所成角的正切值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD=60°，M為PC上一點(diǎn)，且PA∥平面BDM．
（1）求證：M為PC中點(diǎn)；
（2）求平面ABCD與平面PBC所成的銳二面角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，點(diǎn)M在PB上，PB=4PM，PB與平面ABCD成30°的角．
（1）求證：CM∥平面PAD；
（2）點(diǎn)C到平面PAD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•廣東）如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（1）證明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，E為PC的中點(diǎn)．
求證：
（1）PA∥平面BDE；
（2）AC⊥平面PBD．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，M為PD上的點(diǎn)，若PD⊥平面MAB
（I）求證：M為PD的中點(diǎn)；
（II）求二面角A-BM-C的大�。�

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