Question

15．q求曲線C₁：|$\frac{x}{4}$|-|$\frac{y}{2}$|=1與曲線C₂：|$\frac{x}{8}$|+|$\frac{y}{2}$|=1所圍成圖形面積．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，在同一坐標系中畫出C₁、C₂所圍成的圖形，根據(jù)圖形的對稱性求出它的面積即可．

解答 解：對于曲線C₁：|$\frac{x}{4}$|-|$\frac{y}{2}$|=1，
當x＞0，y＞0時，$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1$，
當x＞0，y＜0時，$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$，
當x＜0，y＜0時，$\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=-1$，
當x＜0，y＞0時，$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=-1$；
對于曲線C₂：|$\frac{x}{8}$|+|$\frac{y}{2}$|=1，
當x＞0，y＞0時，$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1$，
當x＞0，y＜0時，$\frac{x}{8}-\frac{y}{2}=1$，
當x＜0，y＜0時，$\frac{x}{8}+\frac{y}{2}=-1$，
當x＜0，y＞0時，$\frac{x}{8}-\frac{y}{2}=-1$；
在同一坐標系中畫出這8條線段，它們所圍成的圖形是四邊形ABCD和四邊形EFGH，
如圖所示；

由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{4}-\frac{y}{2}=1\\ \frac{x}{8}+\frac{y}{2}=1\end{array}\right.$，得點A（$\frac{16}{3}$，$\frac{2}{3}$）；
∴△ABD的面積為：S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•y_A=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$；
∴四邊形ABCD的面積為：S_{四邊形ABCD}=2S_△ABD=2S_△ABD=2×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$；
由C₁、C₂所圍成的圖形的面積為：
S=S_{四邊形ABCD}+S_{四邊形EFGH}=2×$\frac{8}{3}$=$\frac{16}{3}$．

點評 本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，也考查了分類討論的應(yīng)用問題，考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．