Question

2．某市在“兩會(huì)”召開前，某政協(xié)委員針對(duì)自己提出的“環(huán)保提案”對(duì)某處的環(huán)境狀況進(jìn)行了實(shí)地調(diào)研，據(jù)測(cè)定，該處的污染指數(shù)與附近污染源的強(qiáng)度成正比，與到污染源的距離成反比，比例常數(shù)為k（k＞0）．現(xiàn)已知相距36km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強(qiáng)度分別為正數(shù)a，b，它們連線上任意一點(diǎn)c處的污染指數(shù)y等于兩化工廠對(duì)該處的污染指數(shù)之和．
（1）設(shè)A，C兩處的距離為x，試將y表示為x的函數(shù)；
（2）若a=1時(shí)，y在x=6處取最小值，試求b的值．

Answer 1

分析 （1）求出點(diǎn)C受A、B污染源污染指數(shù)，即可得到點(diǎn)C處污染指數(shù)；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的極值與最值，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)點(diǎn)C受A污染源污染指數(shù)為$\frac{ka}{x}$，
點(diǎn)C受B污染源污染指數(shù)為$\frac{kb}{36-x}$，其中k為比例系數(shù)，且k＞0．…（2分）
從而點(diǎn)C處污染指數(shù)y=$\frac{ka}{x}$+$\frac{kb}{36-x}$（0＜x＜36）…（4分）
（2）因?yàn)閍=1，所以y=$\frac{ka}{x}$+$\frac{kb}{36-x}$，…（5分）
∴y′=k[-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{（36-x）^{2}}$]，…（7分）
令y′=0，得x=$\frac{36}{1+\sqrt}$，…（9分）
當(dāng)x∈（0，$\frac{36}{1+\sqrt}$）時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（$\frac{36}{1+\sqrt}$，+∞）時(shí)，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=$\frac{36}{1+\sqrt}$時(shí)，函數(shù)取得最小值…（11分）
又此時(shí)x=6，解得b=25，經(jīng)驗(yàn)證符合題意．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．