Question

1．已知正四面體ABCD的棱長為1，如果一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長方體能在該正四面體內任意轉動，則該長方體的長和寬形成的長方形面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{12}$
• D． $\frac{1}{24}$

Answer 1

分析 要滿足一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長方體能在該正四面體內任意轉動，則長方體的對角線長不超過正四面體的內切球的直徑．利用正四面體的性質可得內切球的半徑，利用長方體的對角線與內切球的直徑的關系、基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設正四面體S-ABCD如圖所示．
可得它的內切球的球心0必定在高線SH上，
延長AH交BC于點D，則D為BC的中點，連接SD，
則內切球切SD于點E，連接AO．
∵H是正三角形ABC的中心，
∴AH：HD=2：1，
∵Rt△0AH∽Rt△DSH，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{DS}{DH}$=3，可得OA=30H=S0
因此，SH=4OH，可得內切球的半徑R=OH=$\frac{1}{4}$SH．
∵正四面體棱長為1，
∴Rt△SHD中，SD=$\sqrt{S{H}^{2}+H{D}^{2}}$=，$\sqrt{（4R）^{2}+（\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得R²=$\frac{1}{24}$．
要滿足一高為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$的長方體能在該正四面體內任意轉動，
則長方體的對角線長不超過正四面體的內切球的直徑，
設該長方體的長和寬分別為x，y，
該長方體的長和寬形成的長方形面積為S．
∴4R²≥$（\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}$+x²+y²，
∴x²+y²≤$\frac{1}{12}$，
∴S=xy≤$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{2}$=$\frac{1}{24}$．
故選：D．

點評 本題考查了正四面體的性質、勾股定理、正三角形的性質、長方體的對角線與其外接球的直徑之間的關系，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題．