Question

如圖1所示，在△ABC中，∠B=90°，D，E分別是AB，AC的中點，將△ADE沿DE折到△PDE的位置，使得∠PDB=60°，如圖2所示，連接PB，PC，CD，O，F(xiàn)分別是BD，PB的中點，連接PO，DF，PC．
（1）求證：PO⊥平面BCED；
（2）求證：DF∥平面PCE；
（3）若DB=2，BC=

2

，求二面角F-CD-B的大�。�

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得AB⊥BC且DE∥BC，DE⊥AB，DE⊥PD，從而DE⊥平面PDB，進而DE⊥PO，又PD=BD，O是BD中點，從而PO⊥BD，由此能證明PO⊥平面BCDE．
（2）取BC中點M，連結MF、MD，由此推導出平面PCF∥平面FMD，從而能證明DF∥平面PCE．
（3）以O為原點，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，求出平面FCD的法向量和平面BCD的法向量，利用向量法能求出二面角F-CD-B的大小．

解答： （1）證明：∵在△ABC中，∠B=90°，
D，E分別是AB，AC的中點，
∴AB⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AB，∴DE⊥PD，
又DE⊥BD，∴DE⊥平面PDB，又PO?平面PDB，
∴DE⊥PO，又PD=BD，O是BD中點，∴PO⊥BD，
∴PO⊥平面BCDE．
（2）證明：取BC中點M，連結MF、MD，
∵F是BD中點，DE

∥

.

1

2

BC，∴MF∥PC，DE∥EC，
∵FM∩DM=M，∴平面PCF∥平面FMD，
又DF?平面PCE，∴DF∥平面PCE．
（3）解：以O為原點，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
P（0，0，

3

），B（0，1，0），F(xiàn)（0，

1

2

，

3

2

），C（

2

，0，0），D（0，-1，0），

CD

=（-

2

，-1，0），

CF

=（-

2

，

1

2

，

3

2

），

CB

=（-

2

，1，0），
設平面FCD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • CD =- 2 x-y=0 n • CF =- 2 x+ 1 2 y+ 3 2 z=0

，取x=1，得

n

=（1，-

2

，

6

3

），
平面BCD的法向量為

m

=（0，0，1），
設二面角F-CD-B的大小為θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

6 3

3+ 2 3

=

22

11

．
∴二面角F-CD-B的大小為arccos

22

11

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．