Question

11．設(shè)α≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求證：tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{α}{2}$）=$\frac{cosα}{1+sinα}$．

Answer 1

分析 從左邊入手，利用兩角差的正切公式展開，然后配成二倍角公式的形式化簡證明．

解答 證明：左邊=$\frac{tan\frac{π}{4}-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{π}{4}tan\frac{α}{2}}=\frac{1-tan\frac{α}{2}}{1+tan\frac{α}{2}}$=$\frac{cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}}=\frac{（cos\frac{α}{2}-sin\frac{α}{2}）（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）}{（cos\frac{α}{2}+sin\frac{α}{2}）^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}\frac{α}{2}-si{n}^{2}\frac{α}{2}}{co{s}^{2}\frac{α}{2}-2sinα\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}+si{n}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{cosα}{1+sinα}$=右邊；
故原等式成立．

點(diǎn)評 本題考查了三角恒等式的證明；用到了兩角差的正切公式，正弦、余弦的倍角公式；屬于基礎(chǔ)題．