Question

已知集合M={x|2x²-（2a+1）x+a＞0，a＞

1

2

}，集合N={x|?t∈R，使得t²+t+1≤x成立}，若x∈N是x∈M的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：分別求出集合M，N成立的等價條件，利用充分不必要條件的定義即可得到結論．

解答： 解：∵2x²-（2a+1）x+a＞0，
∴（x-a）（2x-1）＞0，
∵a＞

1

2

，
∴不等式的解為x＞a或x＜

1

2

，
即M={x|x＞a或x＜

1

2

}．
∵t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴若?t∈R，使得t²+t+1≤x成立，
則x≥

3

4

，
即N={x|x≥

3

4

}．
若x∈N是x∈M的充分不必要條件，
則N?M，
即

1

2

＜a＜

3

4

，
∴實數(shù)a的取值范圍是

1

2

＜a＜

3

4

．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的應用，利用不等式的性質求出M，N的等價條件是解決本題的關鍵．