Question

5．在平面幾何中有正確的結論，已知一個正三角形的內切圓面積為S₁，外接圓面積為S₂，則$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{4}$，類比上述結論推理，在空間中，已知一個正四面體的內切球體積為V₁，外接球體積為V₂，則$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{8}$
• C． $\frac{1}{16}$
• D． $\frac{1}{27}$

Answer 1

分析 設正四面體棱長為1，求出棱錐的高，利用等體積法求出內切球的半徑r，利用勾股定理求出外接球的半徑R，得出兩球的體積比．

解答 解：設正四面體的棱長為1，取BC的中點D，連結AD，作正四面體的高PM．
則AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AM=$\frac{2}{3}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴PM=$\sqrt{P{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．
設內切球的半徑為r，內切球球心為O，則V_P-ABC=4V_O-ABC=4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{1}^{2}×r$，
解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$．
設外接球的半徑為R，外接球球心為N，則MN=|PM-R|或|R-PM|，AN=R，
在Rt△AMN中，由勾股定理得AM²+MN²=AN²，
∴$\frac{1}{3}$+（$\frac{\sqrt{6}}{3}$-R）²=R²，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∴$\frac{r}{R}=\frac{1}{3}$．
∴$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{r}^{3}}{{R}^{3}}$=$\frac{1}{27}$．
故選D．

點評 本題考查了棱錐與外接球，內切球的關系，屬于中檔題．