Question

20．已知拋物線E：y²=2px（p＞0）上的一點A（1，m）到其焦點F的距離為$\frac{3}{2}$．
（Ⅰ）求p和m的值；
（Ⅱ）設M是拋物線E上一動點，定點N為（$\frac{7}{2}$，1），求使|MF|+|MN|取得最小值t時，M的坐標，并求出t的值．
（Ⅲ）設過F的直線l交拋物線E于P、Q兩點，且線段PQ的中點的縱坐標為1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）：拋物線的方程為y²=2px的準線l的方程為：x=-$\frac{p}{2}$，設點M（1，m）在l上的射影為M′，則|MF|=|MM′|=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，進而求出p值，得到拋物線方程，將x=1代入可得m的值；
（Ⅱ）求出焦點坐標和準線方程，把|MF|+|MN|轉化為|MN|+|PM|，利用 當P、N、M三點共線時，|MN|+|PM|取得最小值，把y=1代入拋物線y²=2x 解得x值，即得M的坐標
（Ⅲ）先假設P、Q的坐標，根據(jù)P、Q滿足拋物線方程將其代入得到兩個關系式，再將兩個關系式相減根據(jù)直線的斜率公式和線段AB的中點的縱坐標的值可求出直線的斜率，可得答案．

解答 解：（I）：∵拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
∴其準線l的方程為：x=-$\frac{p}{2}$，
設點M（1，m）在l上的射影為M′，
則|MF|=|MM′|=1+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴p=1．
則拋物線E：y²=2x，
當x=1時，y=$±\sqrt{2}$，
即m=$±\sqrt{2}$，
（Ⅱ）由題意得 F（$\frac{1}{2}$，0），準線方程為 x=-$\frac{1}{2}$，
設點M到準線的距離為d=|PM|，
則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MN|+|PM|，
故當P、N、M三點共線時，|MF|+|MN|取得最小值為|NP|=$\frac{7}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=4．
把y=1代入拋物線y²=2x 得 x=$\frac{1}{2}$，故點M的坐標是（$\frac{1}{2}$，1），
（Ⅲ）P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），則有y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
兩式相減得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=2（x₁-x₂），
由線段PQ的中點的縱坐標為1，則y₁+y₂=2，
即y₁-y₂=x₁-x₂，
即$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=1，即直線l的斜率為1，
故直線l的方程為：y=x-$\frac{1}{2}$，即2x-2y-1=0．

點評 本題考查拋物線的定義和性質應用，解答的關鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．