Question

20．函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）的單調減區(qū)間是（-1，1），值域是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 由對數(shù)式的真數(shù)大于0求出f（x）的定義域，由二次函數(shù)的性質求出內函數(shù)的增區(qū)間，即為復合函數(shù)的減區(qū)間；求出真數(shù)的取值范圍，結合外函數(shù)是減函數(shù)可得原函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：由題意得-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
因為函數(shù)t=-x²+2x+3在（-1，1）上遞增，在（1，3）上遞減，
且函數(shù)y=${log}_{\frac{1}{2}}^{t}$在定義域上遞減，
所以f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）的單調減區(qū)間是（-1，1），
因為-1＜x＜3，所以0＜t≤4，
則f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）≥${log}_{\frac{1}{2}}^{4}$=-2，
所以函數(shù)的值域是[-2，+∞），
故答案為：（-1，1）；[-2，+∞）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域、單調性，二次函數(shù)的性質，與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的單調性，考查了對數(shù)函數(shù)值域的求法，是中檔題．