Question

如圖所示，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，AA₁=，M是側(cè)棱CC₁上一點(diǎn)，AM⊥BA₁．

(1)求證AM⊥平面A₁BC；

(2)求二面角B―AM―C的大�。�

Answer 1

解：(1)在三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，易知平面ACC₁A₁⊥平面ABC于AC，因?yàn)椤螦CB=90°，∴BC⊥AC又AM平面ACC_lA₁，所以BC⊥AM，因?yàn)锳M⊥BA₁，且BC∩BA₁=B，

所以AM⊥平面A₁BC

(2)設(shè)AM與A₁C的交點(diǎn)為O，連接BO，如圖所示，由(1)知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC為二面角B―AM―C的平面角，

在Rt△ACM和Rt△A₁AC中，∠MAC+∠ACO=90°，∠AA₁C+∠ACO=90°，

∴∠AA₁C=∠MAC，所以Rt△ACM∽R(shí)t△A₁AC，所以AC² =MC?AA₁ ，

所以MC=，所以在Rt△ACM中，AM=，

因?yàn)?sub>AC?MC=AM?CO，所以CO=1，所以在Rt△BCO中，tan∠BOC=1，

所以∠BOC=45°，故所求二面角的大小為45°(也可以建立空間直角坐標(biāo)系來求解)．