Question

由原點(diǎn)O向曲線f(x)=x³-3ax²+x(a≠0)引切線,切點(diǎn)P₁(x₁,y₁)異于O,再由點(diǎn)P₁引此曲線的切線,切點(diǎn)P₂(x₂,y₂)異于P₁,如此繼續(xù)下去,得到點(diǎn)列{P_n(x_n,y_n)}.

(1)求x₁;

(2)求證:數(shù)列{x_n-a}為等比數(shù)列;

(3)令b_n=n|x_n-a|,T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)的和,若T_n＞2對(duì)n∈N^*恒成立,求a的取值范圍.

Answer 1

(1)解:f′(x)=3x²-6ax+1,

過(guò)切點(diǎn)P₁(x₁,y₁)的切線方程為y-y₁=(3x₁²-6ax₁+1)(x-x₁),

由于切線過(guò)原點(diǎn)O,因此0-(x₁³-3ax₁²+x₁)=(3x₁²-6ax₁+1)(0-x₁).

解得x₁=a.

(2)證明:過(guò)切點(diǎn)P_n+1(x_n+1,y_n+1)的切線方程為y-y_n+1=(3x_n+1²-6ax_n+1+1)(x-x_n+1),

由于切線過(guò)點(diǎn)P_n(x_n,y_n),因此y_n-y_n+1=(3x_n+1²-6ax_n+1+1)(x_n-x_n+1).

化簡(jiǎn)得x_n+2x_n+1=3a,

∴x_n-a=-2(x_n+1-a),

即=-.

∴數(shù)列{x_n-a}是以x₁-a=為首項(xiàng),公比為-的等比數(shù)列.

(3)解:由(2)得x_n-a=(-)^n-1,

b_n=|a|,

T_n=|a|(+++…+).

令S_n=+++…+,

由錯(cuò)位相減可求得S_n=2［］,

∴T_n=2|a|()＞2.

由單調(diào)性得≤＜1.

∴1＜≤4,|a|＞.

要使T_n＞2對(duì)n∈N^*恒成立,故|a|＞4.

∴a的取值范圍是(-∞,-4)∪(4,+∞).