Question

5．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)F向其一條漸近線作垂線l，垂足為A，l與另一條漸近線交于B點(diǎn)，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，則雙曲線的離心率為$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，取右焦點(diǎn)F（c，0），漸近線y=$\frac{a}$x，求出直線FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），由方程聯(lián)立求出A、B的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)表示$\overrightarrow{FB}$與$\overrightarrow{FA}$，由$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，求出雙曲線的離心率e．

解答 解：如圖所示，
取右焦點(diǎn)F（c，0），漸近線y=$\frac{a}$x．
∵FA⊥OA，∴可得直線FA的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
令$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，∴A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}{-b}^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}{-b}^{2}}}\end{array}\right.$∴B（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}{-b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}{-b}^{2}}$），
$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{^{2}c}{{a}^{2}{-c}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}{-b}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{FA}$=（-$\frac{^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
又$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，
∴該雙曲線的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．