Question

12．若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，且對(duì)于任意的n∈N^*都有a_n+1=a_n+n+1，則$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+…+\frac{1}{{{a_{2006}}}}$等于（　�。�

• A． $\frac{4030}{2016}$
• B． $\frac{2015}{2016}$
• C． $\frac{4032}{2017}$
• D． $\frac{2016}{2017}$

Answer 1

分析 由所給的式子得a_n+1-a_n=n+1，給n具體值列出n-1個(gè)式子，再他們加起來，求出a_n，再用裂項(xiàng)法求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，然后代入進(jìn)行求值$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2016}}$的值，

解答 由a_n+1=a_n+n+1得，a_n+1-a_n=n+1，
則a₂-a₁=1+1，
a₃-a₂=2+1，
a₄-a₃=3+1
…
a_n-a_n-1=（n-1）+1，
以上等式相加，得a_n-a₁=1+2+3+…+（n-1）+n-1，
把a(bǔ)₁=1代入上式得，a_n=1+2+3+…+（n-1）+n=$\frac{n（n+1）}{2}$
$\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
則$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}+…+\frac{1}{{a}_{2016}}$=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}$）
=2（1-$\frac{1}{2017}$）
=$\frac{4032}{2017}$，
故答案選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考察數(shù)列的求和、利用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，這是數(shù)列�？嫉姆椒ǎ�需要熟練掌握，屬于中檔題．