Question

【題目】已知集合，且.

（1）證明：若，則是偶數；

（2）設，且，求實數的值；

（3）設，求證：；并求滿足的的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析，.

【解析】

（1）根據,將代入化簡,結合即可證明.

（2）根據題意,設,結合（1）并分類討論即可求得的值, 代入求得的值,討論并舍去不符合要求的的值,即可得實數的值;

（3）根據題意,設代入化簡,并結合即可證明;化簡不等式,結合（2）可知,在范圍內的值只能是,即,即可求得的值.

（1）證明: 若,則

所以

因為

所以原式

因為

所以偶數

原式得證

（2）因為,且

則,所以

設,

由（1）可知,即

所以或

當時,代入可得

此時,不滿足,所以不成立

當時,代入解得,若,則,不滿足,所以不成立;若,則,滿足

綜上,可知

（3）證明:因為,所以可設且

則

代入

即成立,原式得證

對于,不等式同時除以可得

由（2）可知, 在范圍內,

所以

即