Question

如圖所示的多面體，它的正視圖為直角三角形，側(cè)視圖為矩形，俯視圖為直角梯形（尺寸如圖所示），    
（1）求證：AE∥平面DCF；    
（2）當(dāng)AB的長為，∠CEF=90°時(shí)，求二面角A-EF-C的大小。

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)E 作EG⊥CF交CF于G， 連結(jié)DG，可得四邊形BCGE為矩形， 又四邊形ABCD為矩形， 所以AD=EG， 從而四邊形ADGE為平行四邊形， 故AE∥DG， 因?yàn)?IMG style="WIDTH: 41px; HEIGHT: 18px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120505/20120505134820253904.png">平面DCF，平面DCF， 所以AE∥平面DCF。 （2）過點(diǎn)B作BH⊥EF交FE的延長線于H， 連結(jié)AH，BH， 由平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC， 得AB平面BEFC， 從而AHEF， 所以∠AHB為二面角A-EF-C的平面角， 在Rt△EFG中，因?yàn)?IMG style="WIDTH: 123px; HEIGHT: 21px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120505/201205051348204191993.png">=2， ∴∠GFE=60°，F(xiàn)G=1， 又因?yàn)椤螱EF=90°， 所以CF=4，從而BE=CG=3， 于是  在 則tan∠AHB=， 因?yàn)?IMG style="WIDTH: 124px; HEIGHT: 20px; VERTICAL-ALIGN: middle" src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120505/201205051348205971927.png"> 所以∠AHB=60°， 所以二面角A-EF-C的大小為60°。