Question

（本小題滿分13分）已知A（-2，0），B（2，0）為橢圓C的左、右頂點，F(xiàn)為其右焦點，P是橢圓C上異于A，B的動點，且APB面積的最大值為2．

（1）求橢圓C的方程及離心率；

（2）直線AP與橢圓在點B處的切線交于點D，當直線AP繞點A轉(zhuǎn)動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

（1）橢圓的方程為，離心率為；（2）以為直徑的圓與直線相切．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法進行求解；（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理成關(guān)于的一元二次方程，利用中點坐標公式求其線段中點，寫出圓的方程，利用圓心到直線的距離公式進行證明．

試題解析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為，．

由題意知

解得，． 3分

故橢圓的方程為，離心率為． 5分

（Ⅱ）以為直徑的圓與直線相切．

證明如下：由題意可設(shè)直線的方程為．

則點坐標為，中點的坐標為． 6分

由得． 7分

設(shè)點的坐標為，則．

所以，． 9分

因為點坐標為，

當時，點的坐標為，點的坐標為．

直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切． 10分

當時，則直線的斜率．

所以直線的方程為．

點到直線的距離．

又因為 ，所以．

故以為直徑的圓與直線相切．

綜上得，當直線繞點轉(zhuǎn)動時，以為直徑的圓與直線相切．

考點：1．橢圓的標準方程；2．直線橢圓的位置關(guān)系；3．直線與圓的位置關(guān)系．

考點分析： 考點1：橢圓的標準方程 考點2：橢圓的幾何性質(zhì) 試題屬性

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