Question

設函數(shù)f（x）=x³+a﹣a²x+m（a≥0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈[﹣1，1]內沒有極值點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對任意的a∈[3，6），不等式f（x）≤1在x∈[﹣2，2]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=3+2ax﹣a²=
當a=0時f'（x）≥0
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，+∞）
當a＞0時由f'（x）＞0得x＜﹣a或，
由f'（x）＜0得，
∴函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣a），，單調遞減區(qū)間為
（Ⅱ）當a=0時由（1）知函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，
則f（x）在[﹣1，1]上沒有極值點；
當a＞0時∵
由（1）知f（x）在上單調遞增，在上單調遞減；
則要f（x）在[﹣1，1]上沒有極值點，
則只需f'（x）=0在（﹣1，1）上沒有實根．
∴，解得a≥3
綜上述可知：a的取值范圍為[3，+∞）∪{0}
（Ⅲ）∵a∈[3，6），
∴≤﹣3
又x∈[﹣2，2]
由（1）的單調性質知f（x）_max=max{f（﹣2），f（2）}
而f（2）﹣f（﹣2）=16﹣4a²＜0
∴f（x）_max=f（﹣2）=﹣8+4a+2a²+m
∵f（x）≤1在[﹣2，2]上恒成立
∴f（x）_max≤1即﹣8+4a+2a²+m≤1即m≤9﹣4a﹣2a²在a∈[3，6]上恒成立，
∵9﹣4a﹣2a²的最小值為﹣87
∴m≤﹣87