Question

如圖，直角△BCD所在的平面垂直于正△ABC所在的平面，PA⊥平面ABC，DC=BC=2PA，E為DB的中點。

（1）證明：AE⊥BC；　　
（2）若點F是線段BC上的動點，設(shè)面PFE與面PBE所成的平面角大小為，當在內(nèi)取值時，求直線PF與平面DBC所成的角的范圍。

Answer 1

（1）證明：取BC的中點O，連接EO，AO，則EO//DC，
所以EO⊥BC，
因為△ABC為等邊三角形，所以BC⊥AO，
所以BC⊥面AEO，
故BC⊥AE。
（2）解：連接PE，
因為面BCD⊥面ABC，DC⊥BC，
所以DC⊥面ABC，
而EODC，
所以EOPA，故四邊形APEO為矩形，
易證PE⊥面BCD，
連接EF，則∠PFE為PF與面DBC所成的角， 
又PE⊥面BCD，
所以，
∴∠BEF為面PBE與面PFE所成的角，即，
此時點F即在線段BO上移動，設(shè)DC=BC=2PA=2，則，
，
所以直線PF與平面DBC所成的角的范圍為。