Question

已知函數(shù)．
（1）求證：y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（m≠n），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）（0，+∞）時，＞0，y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．由此能夠證明y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）函數(shù)的定義域：x＞0或x＜0．當x＞0時，f（x）=a-單調遞增；當x＜0時，f（x）=a+單調遞減．當x＞0時，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-，且n=a-，且m＜n，這個式子等價于方程二元一次方程x²-ax+1=0有兩個正的不等實根，由此能求出a的取值范圍．
解答：（1）證明：∵（0，+∞）時，=a-，
∴＞0，
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）解：函數(shù)的定義域：x＞0或x＜0．
當x＞0時，f（x）=a-單調遞增；當x＜0時，f（x）=a+單調遞減．
當x＞0時，f（m）=m且f（n）=n且m＜n，即m=a-，且n=a-，且m＜n，
這個式子等價于方程
x=a-有兩個不等實根，即二元一次方程x²-ax+1=0有兩個正的不等實根，
當x＜0時，f（m）=n且f（n）=m，即a+=n，且a+=m，且m＜n＜0，
a=n-=m-．
根據以上情況，有：
①對稱軸，判別式△=a²-4＞0，且x=0時等式左邊=1＞0．解得a＞2．
②a²=nm+-2，
a-a=（n-m）-（）=（n-m）-=（n-m）（1-）=0，
因為n-m≠0，所以1-=0，即mn=1，所以a²=1+1-2=0
綜上所述，a的取值范圍是{a|a＞2或a=0}．
點評：本題考查函數(shù)的單調性的證明，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的靈活運用，合理地進行等價轉化．