Question

8．在△ABC中，若C=90°，三邊為a，b，c，則$\frac{a+b}{c}$的范圍是（　　）

• A． （$\sqrt{2}$，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 運(yùn)用直角三角形的勾股定理和不等式：a²+b²≥2ab＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號(hào)，化簡整理即可得到取值范圍．

解答 解：△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，
即有c²=a²+b²，
則$\frac{a+b}{c}$=$\frac{a+b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（a+b）^{2}}{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}}$，
∵a²+b²≥2ab＞0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取得等號(hào)，
即有$\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}$∈（0，1]，
∴$\frac{a+b}{c}$的取值范圍為（1，$\sqrt{2}$]，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了直角三角形的勾股定理與基本不等式的運(yùn)用：求最值，屬于中檔題．