Question

20．已知函數f（x）=-x³+3x²+9x+a
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求函數的導數，解f′（x）＜0，即可得到結論．
（2）解不等式求出函數的單調區(qū)間，比較極值與最值的大小即可．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9，
由f′（x）=-3x²+6x+9＜0，
即x²-2x-3＞0，解得x＞3或x＜-1，
即函數的單調遞減區(qū)間為（3，+∞），（-∞，-1），單調遞增區(qū)間是（-1，3）；
（2）列表如下；

x	-2	（-2，-1）	-1	（-1，2）	2
f′（x）		-	0	+
f（x）	a-14	遞減	a-7	遞增	a+ 22

∴f（x）_最大值=f（2）=a+22，∴a+22=20，∴a=-2，∴f（x）_最小值=f（-1）=-7
故函數的最小值是-7．

點評 本題主要考查函數單調區(qū)間的求解，考查利用導數求函數在閉區(qū)間上的最值問題．求函數的導數，利用導數和單調性之間的關系是解決本題的關鍵．