Question

18．在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，點N是△ABC內(nèi)部或邊上一點，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值．

Answer 1

分析 如圖所示，直線BC方程為$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}$=1，化為$y=-\frac{4}{3}x$+4，．直線AM的方程為：y=$\frac{3}{4}$x．聯(lián)立解得M$（\frac{48}{25}，\frac{36}{25}）$．設N（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤4}\\{4x+3y≤12}\end{array}\right.$．設$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{48}{25}x+\frac{36}{25}y$=t，
則y=$-\frac{4}{3}x$+$\frac{25t}{36}$，利用線性規(guī)劃有關知識即可得出．

解答 解：如圖所示，
直線BC方程為$\frac{x}{3}+\frac{y}{4}$=1，化為$y=-\frac{4}{3}x$+4，．
∴直線AM的方程為：y=$\frac{3}{4}$x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，解得M$（\frac{48}{25}，\frac{36}{25}）$．
設N（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤4}\\{4x+3y≤12}\end{array}\right.$．
設$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{48}{25}x+\frac{36}{25}y$=t，
則y=$-\frac{4}{3}x$+$\frac{25t}{36}$，
∴當上述直線與BC重合時，y=$-\frac{4}{3}x$+$\frac{25t}{36}$在y軸上的截距$\frac{25t}{36}$取得最大值4，
∴t=$\frac{144}{25}$．
∴$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$的最大值為$\frac{144}{25}$．

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算性質(zhì)、線性規(guī)劃有關知識，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．