Question

如圖，四面體ABCD中，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，且CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，

（1）求證：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求異面直線AB與CD所成角的余弦值。

Answer 1

（1）證明：連結(jié)AO，
∵O為BD的中點(diǎn)，AB=AD，
∴AO⊥BD，BC=CD，
∴BD⊥CO，
∴，
在△AOC中，由已知可得AO=1，，AC=2，
∴∠AOC=90°，
即AO⊥OC，
又AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD，
又∵AO平面ABD，
∴平面ABD⊥平面BCD。
（2）解：取AC的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)E，連接ME，OE，OM，
則ME∥AB，OE∥DC，
∴∠OEM（或其補(bǔ)角）為異面直線AB與CD所成的角，
在△OME中，，
∵OM是Rt△AOC斜邊AC上的中線，
∴
∴
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為。