Question

 下圖是一個三角形數(shù)陣．從第二行起每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，第行的第一個數(shù)為．

   （Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系，并求；

   （Ⅱ）求第行所有數(shù)的和；

   （Ⅲ）求數(shù)陣中所有數(shù)的和

；

并證明：當時，

．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ） 由題意得，

，

由以上歸納可得：，                （2分）

∴，

∴數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，

∴ ，∴．                （4分）

（Ⅱ） 由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，

且公差依次為：1，2， ，…，，…

第行的首項為，項數(shù)為，公差為

∴

            （7分）

當時，符合上式；

當時，由排布規(guī)律知，也符合上式；

∴．                    （8分）

（Ⅲ）

令                      （1）

        （2）

得

∴

∴（ （12分）

又

∴當時，

又

∴（當且僅當時取等號）．

∴當時,．                                               （14分）