Question

3．已知函數(shù)f（x）=log_a（x²-（a-1）x+6）在區(qū)間[1，2]上單調遞減，則實數(shù)a的取值范圍是{a|0＜a＜1或5≤a＜6}．

Answer 1

分析 令t=x²-（a-1）x+6，則t＞0，且f（x）=g（t）=log_at．由于二次函數(shù)t 的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{a-1}{2}$，再分類討論求得a的范圍．

解答 解：令t=x²-（a-1）x+6，則t＞0，且f（x）=g（t）=log_at．
由于二次函數(shù)t 的圖象的對稱軸方程為x=$\frac{a-1}{2}$，
①當$\frac{a-1}{2}$≤1，即 a≤3時，函數(shù)t在區(qū)間[1，2]上單調遞增，
若1＜a≤3，則函數(shù)g（t）=log_at 在區(qū)間[1，2]上單調遞增，不滿足條件．
若0＜a＜1，則函數(shù)g（t）=log_at 在區(qū)間[1，2]上單調遞減，∴2²-2（a-1）+6＞0，求得a＜6，
綜合可得0＜a＜1．
②當$\frac{a-1}{2}$≥2，即a≥5時，函數(shù)t在區(qū)間[1，2]上單調遞減，函數(shù)g（t）=log_at 在區(qū)間[1，2]上單調遞減，
∴2²-2（a-1）+6＞0，求得a＜6，
綜合可得5≤a＜6．
綜合①②可得0＜a＜1或5≤a＜6，
故答案為：{a|0＜a＜1或5≤a＜6}．

點評 本題主要考查復合函數(shù)的單調性，對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質，體現(xiàn)了分類討論、轉化的數(shù)學思想，屬于中檔題．