Question

2．已知橢圓以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，以拋物線y²=16x的焦點(diǎn)為其中一個(gè)焦點(diǎn)，以雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若E，F(xiàn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則當(dāng)直線PE，PF的斜率都存在，并記為k_PE、k_PF時(shí)，k_PE•k_PF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知拋物線的焦點(diǎn)為（4，0），雙曲線的焦點(diǎn)為（±5，0），設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，由a=5，c=4，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)P，E，F(xiàn)的坐標(biāo)，表示出k_PE、k_PF，運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合斜率公式，即可得到k_PE•k_PF為定值．

解答 解：（1）由拋物線y²=16x的焦點(diǎn)為（4，0），可得c=4，
∴可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{16}$$-\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦點(diǎn)（±5，0）為頂點(diǎn)，
即有a=5，
∴b²=25-16=9，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）設(shè)E、F是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)E（m，n），則F（-m，-n），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則$\frac{{m}^{2}}{25}$+$\frac{{n}^{2}}{9}$=1，$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
兩式相減可得，$\frac{{x}^{2}-{m}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{9}$=0，
即為$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$，
又k_PE=$\frac{y-n}{x-m}$，k_PF=$\frac{y+n}{x+m}$，
則k_PE•k_PF=$\frac{{y}^{2}-{n}^{2}}{{x}^{2}-{m}^{2}}$=-$\frac{9}{25}$，
∴k_PE•k_PF為定值，且為-$\frac{9}{25}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的定義與幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．