Question

（2010•武昌區(qū)模擬）已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足a1=

1

2

，b2=-

1

2

，且對任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n；
（3）若數(shù)列{c_n}滿足bn=

4cn+n

3cn+n

，試求{c_n}的通項公式并判斷：是否存在正整數(shù)M，使得對任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．

Answer 1

分析：（1）由已知利用賦值，取m=1，可得數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數(shù)列．結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式可求
（2）由（1）可得，a_nb_n=-

n

2

•(

1

2

)n，考慮利用錯誤相減可求數(shù)列的和
（3）由bn=

4cn+n

3cn+n

，可得cn=-

n2+2n

3n+8

，由cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．可得數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，從而可判斷

解答：解：（1）由已知，對任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得an+1=a1an=

1

2

an，bn+1=b1+bn=-

1

2

+bn．
所以數(shù)列{a_n}，{b_n}分別為等比，等差數(shù)列．
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
bn=-

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=-

n

2

…（4分）
（2）Tn=(-

1

2

)(

1

2

)1+(-

2

2

)(

1

2

)2+(-

3

2

)(

1

2

)3+…+(-

n

2

)(

1

2

)n

1

2

Tn=(-

1

2

)• (

1

2

) 2+(- 

2

2

)•(

1

2

)3+…+(-

n

2

)•(

1

2

)n+1
兩式相減，

1

2

Tn=-

1

22

-

1

2

[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]+

n

2

•(

1

2

)n+1
并化簡得Tn=n×(

1

2

)n+1+(

1

2

)n-1．…（8分）
（3）由bn=

4cn+n

3cn+n

，
得cn=-

n2+2n

3n+8

．…（10分）
∵cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．
∴數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，c_n的最大值為c₁．
故存在M=1，使得對任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式的求解，錯位相減求解數(shù)列的和是數(shù)列求和的重點與難點，而利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大項的求解的方法要注意掌握體會