Question

9．求下列函數(shù)的定義域與值域．
（1）y=2${\;}^{\frac{1}{x-4}}$；
（2）y=${（\frac{2}{3}）}^{-|\begin{array}{l}{x}\end{array}|}$；
（3）y=4^x+2^x+1+1．

Answer 1

分析 （1）容易看出x≠4，從而定義域?yàn)閧x|x≠4}，而由$\frac{1}{x-4}≠0$可得到${2}^{\frac{1}{x-4}}≠1$，這樣即可得出該函數(shù)的值域；
（2）定義域?yàn)镽，由-|x|≤0，根據(jù)指數(shù)函數(shù)$y=（\frac{2}{3}）^{x}$的單調(diào)性即可得出該函數(shù)的值域；
（3）定義域顯然為R，配方得到y(tǒng)=（2^x+1）²，從而根據(jù)2^x＞0即可得出y的范圍，即得出該函數(shù)的值域．

解答 解：（1）定義域?yàn)閧x|x≠4}；
$\frac{1}{x-4}≠0$；
∴${2}^{\frac{1}{x-4}}≠1$，且${2}^{\frac{1}{x-4}}＞0$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閧y|y＞0，且y≠1}；
（2）定義域?yàn)镽；
-|x|≤0；
∴$（\frac{2}{3}）^{-|x|}≥1$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閇1，+∞）；
（3）定義域?yàn)镽；
y=（2^x+1）²；
∵2^x＞0；
∴2^x+1＞1；
∴y＞1；
∴該函數(shù)的值域?yàn)椋?，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)定義域、值域的概念及其求法，指數(shù)函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．