Question

【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，且，若動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足.

（1）求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)與曲線(xiàn)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），求直線(xiàn)的斜率之積.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）計(jì)算得到，根據(jù)，計(jì)算得到答案.

（2）討論直線(xiàn)的斜率存在和直線(xiàn)的斜率不存在兩種情況，計(jì)算得到答案.

（1）因?yàn)?/span>，即

所以，所以

又因?yàn)?/span>，所以，即，即.

所以曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.

由方程組得.

∵直線(xiàn)與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴，即.

由方程組得，

則.

設(shè)，則，

設(shè)直線(xiàn)的斜率分別為，

所以

，

將代入上式，得.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為.

此時(shí)，圓與的交點(diǎn)也滿(mǎn)足.

綜上，直線(xiàn)的斜率之積為定值.