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如圖，是棱長為的正方體，、分別是棱、上的動點(diǎn)，且．

（1）求證：；

（2）當(dāng)、、、共面時，求：面與面所成二面角的余弦值．

 

【答案】

（1）建立空間坐標(biāo)系，利用向量垂直證明線線垂直；（2）

【解析】

試題分析：（1）以為原點(diǎn)，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系 …1分，則、，設(shè)，則，        2分，

從而、                  3分，

則，所以      5分．

（2）易得，、 ，設(shè)平面的一個法向量為， …6分

依題意          8分，

所以              9分，

同理平面的一個法向量為    12分，

由圖知，面與面所成二面角的余弦值    13分．

考點(diǎn)：本題考查了空間中線線關(guān)系及二面角的求法

點(diǎn)評：求解和證明立體幾何問題一方面可以直接利用幾何方法，通過證明或找到線面之間的關(guān)系，依據(jù)判定定理或性質(zhì)進(jìn)行證明求解.利用空間向量法證明垂直，即證明向量的數(shù)量積等于0；若求二面角則通過兩個半平面的法向量的夾角進(jìn)行求解判斷。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖：在一棱長為1的正方體中，下列各點(diǎn)在正方體外的是（　　）
A、（1，0，1）
B、（
2
5
，-
1
5
，
1
5
）
C、（
1
5
，
1
2
，
1
2
）
D、（1，
1
2
，
1
3
）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•泉州模擬）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線AC1上任取一點(diǎn)P，以A為球心，AP為半徑作一個球．設(shè)AP=x，記該球面與正方體表面的交線的長度和為f（x），則函數(shù)f（x）的圖象最有可能的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，球O是棱長為2的正方體的內(nèi)切球（與正方體的各個面均相切），現(xiàn)在要在正方體內(nèi)放置一個小球O′，使球O′與正方體的三個面及球O均相切，則球O′的半徑為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示,正方體AC的棱長為1,該正方體內(nèi)有兩球相外切,并且又分別與正方體內(nèi)切.

(1)求兩球半徑之和;

(2)球的半徑是多少時,兩球體積之和最小?

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年福建省泉州市畢業(yè)班（第二輪）質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

如圖，在棱長為1的正方體的對角線上任取一點(diǎn)P，以為球心，為半徑作一個球.設(shè)，記該球面與正方體表面的交線的長度和為，則函數(shù)的圖象最有可能的是（      ）

A．                  B．                     C．                 D．

 

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