Question

(本小題滿(mǎn)分12分)
如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.

（Ⅰ）證明：;
（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）由側(cè)面為菱形得，結(jié)合得平面，故，且為的中點(diǎn)．故垂直平分線段，則；（Ⅱ）求二面角大小，可考慮借助空間直角坐標(biāo)系．故結(jié)合已知條件尋找三條兩兩垂直相交的直線是解題關(guān)鍵．當(dāng)且時(shí)，三角形為等腰直角三角形，故，結(jié)合已知條件可判斷，故，從而兩兩垂直．故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/7/vgrg84.png" style="vertical-align:middle;" />軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．分別求半平面和的法向量，將求二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求法向量夾角處理．
試題解析：（I）連接，交于，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以，且為與的中點(diǎn)．又，所以平面，故．又,故．
（II）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/2/rlepj.png" style="vertical-align:middle;" />，且為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a0/2/3mash1.png" style="vertical-align:middle;" />，．故，從而兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a7/7/vgrg84.png" style="vertical-align:middle;" />軸正方向，為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/94/a/cbpbj.png" style="vertical-align:middle;" />，所以為等邊三角形．又,則，，，．
,,．
設(shè)是平面的法向量，則即所以可取．
設(shè)是平面的法向量，則同理可取．
則