Question

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為．點(diǎn)P（1，）、A、B在橢圓E上，且=m（m∈R）
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）當(dāng)m=-3時(shí)，求△PAB的重心坐標(biāo)．
（Ⅲ）證明直線AB的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：設(shè)橢圓方程為+=1（a＞b＞0）
∵橢圓的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，
∴e²=1-=及+=1
∴a²=4，b²=3，
∴橢圓方程為=1；
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由=m
得（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即
∵點(diǎn)P（1，），），m=-3，于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐標(biāo)為（0，0），即原點(diǎn)是△PAB的重心；
（Ⅲ）證明：∵=1，=1
∴兩式相減得k_AB==-×==-，即直線AB的斜率為定值，定值為-．
分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程，利用橢圓的離心率為，點(diǎn)P（1，）在橢圓E上，建立方程求得幾何量，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B的坐標(biāo)，由=m得坐標(biāo)之間的關(guān)系，即可求得△PAB的重心坐標(biāo)；
（Ⅲ）利用點(diǎn)差法，結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識的運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求直線的斜率，正確運(yùn)用橢圓方程是關(guān)鍵．