Question

已知函數(shù)且的圖象經過點．

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）設，用函數(shù)單調性的定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調遞減；

（3）解不等式：．

 

Answer 1

（1），（2）詳見解析，（3）或.

【解析】

試題分析：（1）求函數(shù)的解析式,只需確定的值即可，由函數(shù)且的圖象經過點，得，再由得，（2）用函數(shù)單調性的定義證明單調性，一設上的任意兩個值，二作差，三因式分解確定符號，（3）解不等式，一可代入解析式，轉化為解對數(shù)不等式，需注意不等號方向及真數(shù)大于零隱含條件，二利用函數(shù)單調性，去“”，注意定義域.

試題解析：（1），解得： ∵ 且∴； 3分

（2）設、為上的任意兩個值，且，則

6分

，在區(qū)間上單調遞減． 8分

（3）方法（一）：

由，解得：，即函數(shù)的定義域為； 10分

先研究函數(shù)在上的單調性．

可運用函數(shù)單調性的定義證明函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，證明過程略．

或設、為上的任意兩個值，且，

由（2）得： ，即

在區(qū)間上單調遞減． 12分

再利用函數(shù)的單調性解不等式：

且在上為單調減函數(shù)．， 13分

即，解得：

． 15分

方法（二）： 10分

由得：或；由得：， 13分

． 15分

考點：函數(shù)解析式，函數(shù)單調性定義，解不等式.