Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上為增函數(shù)，則稱f（x） 為“一階比增函數(shù)”．
（1）若f（x）=ax²+ax是“一階比增函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）是“一階比增函數(shù)”，當x₂＞x₁＞0時，試比較f（x₁）+f（x₂）與f（x₁+x₂）的大小．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)“一階比增函數(shù)”的定義，建立條件關(guān)系即可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性，以及“一階比增函數(shù)”的定義即可確定函數(shù)值的大�。�

解答： 解：（I）由題y=

f(x)

x

=

ax2+ax

x

=ax+a在（0，+∞）是增函數(shù)，
由一次函數(shù)性質(zhì)知
當a＞0時，y=ax+a在（0，+∞）上是增函數(shù)，
所以a＞0．
（Ⅱ）f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂），
證明如下：因為f（x）是“一階比增函數(shù)”，即

f(x)

x

在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又任意x₁，x₂∈（0，+∞）有x₁＜x₁+x₂，x₂＜x₁+x₂，
所以

f(x1)

x1

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，

f(x2)

x2

＜

f(x1+x2)

x1+x2

，
所以f（x₁）＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

，f（x₂）＜

x2f(x1+x2)

x1+x2

，
所以f(x1)+f(x2)＜

x1f(x1+x2)

x1+x2

+

x2f(x1+x2)

x1+x2

=f(x1+x2)，
所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，根據(jù)“一階比增函數(shù)”的定義是解決本題的關(guān)鍵，考查學生的推理能力．