Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$，則下列關(guān)于函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$的零點個數(shù)的判斷正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)k≥0時，有1個零點；當(dāng)k＜0時，有2個零點
• B． 當(dāng)k≥0時，沒有零點；當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜k≤-$\frac{1}{4}$時，有3個零點，當(dāng)k≤-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$＜k＜0有2個零點
• C． 當(dāng)k≥0時，沒有零點；當(dāng)-$\frac{1}{2}$＜k＜0時，有3個零點，當(dāng)k≤-$\frac{1}{2}$有2個零點
• D． 當(dāng)k≥0時，沒有零點；當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤k＜-$\frac{1}{4}$時，有3個零點，當(dāng)k＜-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$≤k＜0有2個零點

Answer 1

分析 因為函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$為復(fù)合函數(shù)，故需要分類討論，最后綜合討論結(jié)果，得到答案．

解答 解：①若k≥0，
當(dāng)x≥0時，f（x）≥2，此時y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$恒成立，
當(dāng)x＜0時，f（x）＞1，此時y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$恒成立，
即當(dāng)k≥0時，沒有零點；
②k＜0時，
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+2，x≥0}\\{（\frac{1}{2}）^{x}，x＜0}\end{array}\right.$的圖象如下圖所示：

令y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$=0，
即f[f（x）]=$\frac{3}{2}$，
則f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}$，或f（x）=$\frac{-1}{2k}$
令f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}\frac{3}{2}$，此時存在一個x滿足要求；
令f（x）=$\frac{-1}{2k}$，
若0＜$\frac{-1}{2k}$≤1，即k≤$-\frac{1}{2}$時，此時存在一個x滿足要求；則函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有兩個零點；
若1＜$\frac{-1}{2k}$≤2，即$-\frac{1}{2}$＜k≤$-\frac{1}{4}$時，此時存在兩個x滿足要求；則函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有三個零點；
若$\frac{-1}{2k}$＞2，即$-\frac{1}{4}$＜k＜0時，此時存在一個x滿足要求；則函數(shù)y=f[f（x）]-$\frac{3}{2}$有兩個零點；
綜上可得：當(dāng)k≥0時，沒有零點；當(dāng)-$\frac{1}{2}$≤k＜-$\frac{1}{4}$時，有3個零點，當(dāng)k＜-$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{4}$≤k＜0有2個零點，
故選：D．

點評 本題考查分段函數(shù)，考查復(fù)合函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論確定方程f[f（x）]=$\frac{3}{2}$的根的個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合法是解決本題的關(guān)鍵