Question

6．已知f（x+y）=f（x）+f（y）且f（1）=2，則f（1）+f（2）+…+f（n）不能等于（　�。�

• A． f（1）+2f（1）+…+nf（1）
• B． f（$\frac{n（n+1）}{2}$）
• C． n（n+1）
• D． n（n+1）f（1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令x=n、y=1，證出f（n+1）-f（n）=2，得{f（n）}構成以2為首項、公差為2的等差數(shù)列．由等差數(shù)列通項公式算出f（n）=2n，進而得到{f（n）}前n項和等于n（n+1）．由此再將各項和運算結果加以對照，可得本題答案．

解答 解：令x=n，y=1，得f（n+1）=f（n）+f（1）=f（n）+2，
∴f（n+1）-f（n）=2，
可得{f（n）}構成以f（1）=2為首項，公差為2的等差數(shù)列，
∴f（n）=2+（n-1）×2=2n，
因此，f（1）+f（2）+…+f（n）=$\frac{n[f（1）+f（n）]}{2}$=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n（n+1）
對于A，由于f（1）+2f（1）+3f（1）+…+nf（1）
=f（1）（1+2+…+n）=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），故A正確；
對于B，由于f（n）=2n，所以f[$\frac{n（n+1）}{2}$]=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1），得B正確；
對于C，與求出的前n項和的通項一模一樣，故C正確．
對于D，由于n（n+1）f（1）=2n（n+1），故D不正確．
故選：D

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、求和公式的知識，考查了采用賦值法解決抽象函數(shù)問題的方法，屬于中檔題．