Question

8．圖為一簡單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2
（Ⅰ）求證：AC∥平面PBE
（Ⅱ）求平面PBE與平面PAD夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC，與BD相交于O，取PB的中點H，連接HE，HO，證明四邊形OCEH是平行四邊形，可得OC∥HE，即可證明AC∥平面PBE
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系，求出平面PAD的法向量、平面PBE的法向量，即可求平面PBE與平面PAD夾角的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC，與BD相交于O，取PB的中點H，連接HE，HO，
∵HO是△BDP的中位線，
∴OH∥PD，OH=$\frac{1}{2}$PD，
∵CE∥PD，CE=$\frac{1}{2}$PD，
∴OH∥CE，OH=CE，
∴四邊形OCEH是平行四邊形，
∴OC∥HE，
∵HE?平面PBE，OC?平面PBE，
∴AC∥平面PBE；
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，則D（0，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），P（0，0，2），E（0，2，1），
∴$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）是平面PAD的法向量，
設平面PBE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則
∵$\overrightarrow{BP}$=（-2，-2，2），$\overrightarrow{BE}$=（-2，0，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2x-2y+2z=0}\\{-2x+z=0}\end{array}\right.$，
取z=1，則$\overrightarrow{n}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，1），
∴平面PBE與平面PAD夾角的余弦值|$\frac{1}{2×\frac{\sqrt{6}}{2}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{6}$

點評 本題考查線面平行的判定，考查平面PBE與平面PAD夾角的余弦值，正確證明四邊形OCEH是平行四邊形、求出平面的法向量是關鍵．