Question

16．函數(shù)y=ax-1+$\frac{2a-1}{x}$在[1，2]上是增函數(shù)，求a的范圍（運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性的定義兩種方法）

Answer 1

分析 方法1：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)f′（x）≥0恒成立，利用參數(shù)分類法進(jìn)行求解即可．
方法2：利用函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進(jìn)行求解即可．

解答 解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$，
若函數(shù)y=ax-1+$\frac{2a-1}{x}$在[1，2]上是增函數(shù)，
則y′≥0恒成立，即a-$\frac{2a-1}{{x}^{2}}$≥0，
即ax²-（2a-1）≥0，
即a（x²-2）+1≥0，
若x=$\sqrt{2}$，則不等式等價(jià)為1≥0，不等式成立，
若$\sqrt{2}$＜x≤2，則0＜x²-2≤2，
則不等式等價(jià)為a≥$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$，此時(shí)，
∵$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$≤$\frac{-1}{4-2}=-\frac{1}{2}$，即a$≥-\frac{1}{2}$，
若1≤x＜$\sqrt{2}$，則x²-2＜0，
則不等式等價(jià)為a≤$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$，此時(shí)$\frac{-1}{1-2}$≤$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$，即$\frac{-1}{{x}^{2}-2}$≥1，
則a≤1，
綜上$-\frac{1}{2}$≤a≤1．
定義法：
設(shè)1≤x₁＜x₂≤2，
則f（x₁）-f（x₂）=ax₁+1+$\frac{2a-1}{{x}_{1}}$-ax₂-1-$\frac{2a-1}{{x}_{2}}$=a（x₁-x₂）+（2a-1）•$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（a-$\frac{2a-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，
若函數(shù)y=ax-1+$\frac{2a-1}{x}$在[1，2]上是增函數(shù)，
則f（x₁）＜f（x₂），即f（x₁）-f（x₂）＜0，
即（x₁-x₂）（a-$\frac{2a-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＜0，
即a-$\frac{2a-1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0恒成立，
解ax₁x₂-2a+1＞0，
即a（x₁x₂-2）＞-1，
∵1≤x₁＜x₂≤2，
∴1＜x₁x₂＜4，
則-1＜x₁x₂-2＜2，
若-1＜x₁x₂-2＜0，得a＜$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$，此時(shí)$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$＞1，此時(shí)a≤1，
若x₁x₂-2=0，得0＞-1成立，
若0＜x₁x₂-2＜2，得a＞$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$，此時(shí)$\frac{-1}{{x}_{1}{x}_{2}-2}$$＜-\frac{1}{2}$，此時(shí)a≥$-\frac{1}{2}$，
綜上$-\frac{1}{2}$≤a≤1．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)法和函數(shù)單調(diào)性的定義法是解決本題的關(guān)鍵．