Question

設(shè)S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，且．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設(shè)，且數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）再寫一式，兩式相減，結(jié)合{a_n}是正項數(shù)列，可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）確定數(shù)列的通項，利用基本不等式，結(jié)合裂項求和，即可證得結(jié)論．
解答：（I）解：∵
∴（n≥2）
兩式相減可得+（a_n-a_n-1）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正項數(shù)列，∴a_n-a_n-1=2（n≥2）
∵
∴a₁=3
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（II）證明：∵＞0，＞0，且
∴=+＞=2
∴T_n＞2n
∵b_n=+=2+2（）
∴T_n=2n+2（）+2（）+…+2（）=2n+2（）＜2n+
∴．
點評：本題考查數(shù)列的通項與求和，考查裂項法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．