Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax．
（1）若a=e，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）≥1對(duì)x∈R恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)出理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=e^x-ax，知f′（x）=e^x-e，由f′（x）=0，得x=1，列表討論得到f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f（x）≥1對(duì)x∈R恒成立等價(jià)于e^x-ax-1≥0對(duì)x∈R恒成立，令g（x）=e^x-ax-1，得g（0）=0，g′（x）=e^x-a，當(dāng)a=1時(shí)，g′（0）=0，由此入手進(jìn)行討論能夠?qū)С龃嬖趯?shí)數(shù)a=1，使f（x）≥1對(duì)x∈R恒成立．

解答：解：（1）∵f（x）=e^x-ax，
∴f′（x）=e^x-e，由f′（x）=0，得x=1，

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極大值	↑

∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f（x）≥1對(duì)x∈R恒成立等價(jià)于e^x-ax-1≥0對(duì)x∈R恒成立，
令g（x）=e^x-ax-1，得g（0）=0，g′（x）=e^x-a，
當(dāng)a=1時(shí)，g′（0）=0，
x＜0時(shí)，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
x＞0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
g（x）在x=0取得極小值，g（x）≥g（0）=0，g（x）≥0恒成立，
當(dāng)a＞1時(shí)，g（x）在[0，lna]單調(diào)遞減，當(dāng)x∈[0，lna]時(shí)，g（x）≤g（0）=0，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，g（x）在[lna，0]單調(diào)遞增，當(dāng)x∈[lna，0]時(shí)，g（x）≤g（0）=0，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）≥0，g（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）≤g（0）=0．
∴存在實(shí)數(shù)a=1，使f（x）≥1對(duì)x∈R恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，探索實(shí)數(shù)是否存在．綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的探索性，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．