Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，離心率e=，右準線方程為x=2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點F₁的直線l與該橢圓相交于M、N兩點，且，求直線l的方程式．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓離心率為，右準線方程為x=2，建立方程，利用b²=a²-c²，即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），先判斷直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消元表示出x₁+x₂，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2），用坐標表示出向量，利用，即可求得直線l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由題意，∵橢圓離心率為，右準線方程為x=2．
∴，
∴a=，c=1
∴b²=a²-c²=1
∴橢圓的標準方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F(xiàn)₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
若直線l的斜率不存在時，則直線l的方程為x=-1，將x=-1代入橢圓方程可得y=
不妨設(shè)M（-1，），N（-1，），∴
∴，與題設(shè)矛盾，∴直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k（x+1）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），與橢圓方程聯(lián)立，消元可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0
∴x₁+x₂=，∴y₁+y₂=k（x₁+x₂+2）=
∴
∴=+==
∵
∴
∴40k⁴-23k²-17=0
∴k²=1（負值舍去）
∴k=±1
∴所求直線l的方程為y=x+1或y=-x-1．
點評：本題考查橢圓的性質(zhì)與標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，解題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求解．