Question

5．已知f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-2^x-1
（1）求出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，求出f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）由x＜0時(shí)，-x＞0，則f（-x）=-2^-x-1，再由奇函數(shù)的定義，以及性質(zhì)：f（0）=0，即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得x∈[0，1]時(shí)，f（x）為減函數(shù)，計(jì)算即可得到最值．

解答 解（1）由題意知，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=-2^x-1，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，則f（-x）=-2^-x-1，
∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f （x）=-f （-x）=2^-x+1，
又∵f（x）為定義在R上的函數(shù)，
∴f（0）=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{2}^{x}-1，x＞0}\\{0，x=0}\\{{2}^{-x}+1，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，解析式f（x）=-2^x-1，
f（x）=-2^x-1在x∈[0，1]單調(diào)遞減．
當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值-2，
當(dāng)x=1時(shí)，y有最小值-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性的運(yùn)用：求函數(shù)的解析式，考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．