Question

已知函數(shù)f（x）=cosx+ax²，當x≥0時，使f（x）≥1恒成立的a的最小值為k，存在n個正數(shù)p_i（i=1，2，…，n），且p₁+p₂+…+p_n=1，任取n個自變量的值
（I）求k的值；
（II）如果a=k，當n=2時，求證：J≥f（p₁x₁+p₂x₂）；
（III）如果a=k，且存在n個自變量的值x₁，x₂，…，x_n，使，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數(shù)的兩次導數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過函數(shù)的導數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)中a的最小值，從而求k的值；
（II）不妨設(shè)x₂≥x₁，f′（x）=-sinx+x，[f′（x）]′=-cosx+1≥0，推出f′（x）在R上為增函數(shù)，令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．證明g（x）在[x₁，+∞）上為增函數(shù)，得到g（x₂）≥g（x₁）=0，
則g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）≥0，推出J≥f（p₁x₁+p₂x₂）；
（Ⅲ）利用數(shù)學歸納法已知當n=1時，結(jié)論成立；然后假設(shè)當n=k結(jié)論成立，即存在n個正數(shù)p_i（i=1，2，3，…n），p₁+p₂+…+p_k=1時，對于n個自變量的值x₁，x₂，x₃，…，x_n，有J≥f（p₁x₁+p₂x₂+…+p_kx_k）．證明，當n=k+1時等式也成立，利用函數(shù)的單調(diào)性推出．
解答：解：（Ⅰ）令h（x）=cosx+ax²-1，則h′（x）=-sinx+2ax，[h′（x）]′=-cosx+2a，
當2a≤0時，此時在條件下，[h′（x）]′＜0，
則h′（x）在上為減函數(shù)，所以h′（x）≤h′（0）=0，
所以h（x）在上為減函數(shù)，
所以當時，h（x）＜0，即f（x）＜1；
當0＜2a＜1，即時，存在，使得cosx=2a，
當0＜x＜x時，[h′（x）]′＜0，h′（x）為減函數(shù)，則h′（x）＜h′（0）=0，
即h（x）在（0，x）上遞減，則x∈（0，x）時，h（x）＜h（0）=0，
所以h（x）＜0，即f（x）＜1；      （2分）
當2a=1，即時，x≥0，h′（x）=-sinx+x≥0，
則h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，即當x≥0時，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1；
當2a＞1，即時，當x≥0時，[h′（x）]′=-cosx+2a＞0，
則h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，當x≥0時，h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1．
綜上，，則a的最小值．             （4分）
（Ⅱ）不妨設(shè)x₂≥x₁，f′（x）=-sinx+x，[f′（x）]′=-cosx+1≥0，
所以f′（x）在R上為增函數(shù)，（5分）
令g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）．g′（x）=p₂f′（x）-p₂f′（p₁x₁+p₂x），
當x＞x₁時，因為x-p₁x₁-p₂x＞0，所以g′（x）＞0，（7分）
即g（x）在[x₁，+∞）上為增函數(shù)，所以g（x₂）≥g（x₁）=0，
則g（x）=p₁f（x₁）+p₂f（x）-f（p₁x₁+p₂x）≥0，
則原結(jié)論成立．          （8分）
（Ⅲ）（�。┊攏=1時，結(jié)論成立；
（ⅱ）假設(shè)當n=k結(jié)論成立，即存在n個正數(shù)p_i（i=1，2，3，…n），p₁+p₂+…+p_k=1時，對于n個自變量的值x₁，x₂，x₃，…，x_n，有J≥f（p₁x₁+p₂x₂+…+p_kx_k）．
當n=k+1時，
令存在n+1個正數(shù)p_i（i=1，2，3，…n+1），p₁+p₂+…+p_k+1=1，
令p₁+p₂+…+p_k=m，則，
對于n+1個自變量的值x₁，x₂，x₃，…，x_n+1，
此時J=p₁f（x₁）+p₂f（x₂）+…+p_kf（x_k）+p_k+1f（x_k+1）=≥．    （10分）
因為m+p_k+1=1，所以
所以n=k+1時結(jié)論也成立，（11分）
綜上可得J≥f（p₁x₁+p₂x₂+…+p_k+1x_k+1）．
當x≥0時，f′（x）=-sinx+x≥0，（12分）
所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以．
點評：本題是難題，考查函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的導數(shù)判斷導函數(shù)的單調(diào)性，數(shù)學歸納法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計算能力．分析問題解決問題的能力．