Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）證明：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

考點：等差關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，建立條件關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（2）利用等差數(shù)列的定義進行證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，可得2S₉=S₃+S₆．
當(dāng)q=1時，即得18a₁≠3a₁+6a₁，不成立．…（3分）
當(dāng)q≠1時，即得

2a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
整理得：2q⁶-q³-1=0，即2（q³）²-q³-1=0，
解得：q=1（舍去），或q=-

3 4

2

．…（7分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知q³+1=2q⁶，
∴a2+a5=a1q+a1q4=a1q(1+q3)=a1q•2q6=2a1q7，
∵2a8=2a1q7，
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列． …（12分）

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算能力．