Question

11．已知數(shù)列{a_n}（n=1，2，3，…），⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0和⊙C₂：x²+y²+2x+2y-2=0．若⊙C₁和⊙C₂交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分⊙C₂的周長
（1）求證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）若a₁=1，則當(dāng)⊙C₁面積最小時，求出⊙C₁的方程．

Answer 1

分析 （1）⊙C₁和⊙C₂的方程相減可得直線AB的方程：（1+a_n）x+（1-a_n+1）y=0．由于⊙C₁和⊙C₂交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分⊙C₂的周長，可得AB經(jīng)過⊙C₂的圓心（-1，-1），可得1+a_n+1-a_n+1=0，即可證明．
（2）當(dāng)a₁=1時，a_n=2n-1．⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0配方變?yōu)椋?（x-{a}_{n}）^{2}$+$（y+{a}_{n+1}）^{2}$=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2．半徑R滿足：R²=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2=（2n-1）²+（2n+1）²+2=8n²+4≥12，即可得出．

解答 （1）證明：⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0和⊙C₂：x²+y²+2x+2y-2=0相減可得直線AB的方程：（1+a_n）x+（1-a_n+1）y=0．
∵⊙C₁和⊙C₂交于A、B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分⊙C₂的周長，
∴AB經(jīng)過⊙C₂的圓心（-1，-1），
∴1+a_n+1-a_n+1=0，即a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是公差為2的等差數(shù)列．
（2）解：當(dāng)a₁=1時，a_n=1+2（n-1）=2n-1．
⊙C₁：x²+y²-2a_nx+2a_n+1y-2=0配方變?yōu)椋?（x-{a}_{n}）^{2}$+$（y+{a}_{n+1}）^{2}$=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2．
半徑R滿足：R²=${a}_{n}^{2}+{a}_{n+1}^{2}$+2=（2n-1）²+（2n+1）²+2=8n²+4≥12，當(dāng)n=1時q取等號，
此時⊙C₁面積最小，⊙C₁的方程為：（x-1）²+（y+3）²=12．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、圓的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．