Question

已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸．

（1）確定與的關(guān)系；

（2）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）證明：對(duì)任意，都有成立。

Answer 1

（1）依題意得，則

由函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線平行于軸得：

∴

（2）由（1）得-

∵函數(shù)的定義域?yàn)?img src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/files/down/test/2014/06/06/03/2014060603075021343280.files/image170.gif'>

   ∴①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

由得，由得，

即函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；-

當(dāng)時(shí)，令得或，

②若，即時(shí)，由得或，由得，

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

③若，即時(shí)，由得或，由得，

即函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；-

④若，即時(shí)，在上恒有，

即函數(shù)在上單調(diào)遞增，

綜上得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．

（3）證法一：由（2）知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，，即，

令，則，

即

【證法二：構(gòu)造數(shù)列，使其前項(xiàng)和，

則當(dāng)時(shí)，，

顯然也滿足該式，

故只需證

令，即證，記，

則，

在上單調(diào)遞增，故，

∴成立，

即．

【證法三：令，

則----10分

令則，

記-

∵∴函數(shù)在單調(diào)遞增，

又即，

∴數(shù)列單調(diào)遞增，又，∴