Question

在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，SB⊥底面ABCD，SB=AB，設(shè)Q為SD的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).

(1)求證：MQ∥平面SBC；

(2)求證：平面SDM⊥平面SCD；

(3)求銳二面角S-DM-C的大小.

Answer 1

解法一：（1）證明：取SC的中點(diǎn)R，連結(jié)QR、BR，

因?yàn)镼為SD的中點(diǎn)，

所以QR∥DC且QR=DC.

在正方形ABCD中，M為AB的中點(diǎn)，

∴BM∥DC且BM=DC.

∴四邊形MQRB為平行四邊形，

∴MQ∥BR,又BR平面SBC，

∴MQ∥平面SBC.

（2）證明：因?yàn)镾B=AB，所以ΔSBC為等腰三角形，又R為SC中點(diǎn)，

∴BR⊥SC,∵M(jìn)Q∥BR ∴MQ⊥SC.

∵CD⊥BC,∴CD⊥BR,（三垂線定理）

∴MQ⊥CD,SC∩CD=C,∴MQ⊥平面SCD,

而MQ平面SDM  ∴平面SDM⊥平面SCD.

（3）解：過B作BH⊥DM,交DM的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)SH.

∵SB⊥平面ABCVD，由三垂線定理可得：SH⊥DH,

∴∠SHB為二面角S-DM-C的平面角.

設(shè)AB=1,則BH=BMsin∠AMD=,

∴tan∠SHB=,∴∠SHB=arctan.

解法二：（2）如圖所示，以B為原點(diǎn)，直線BC、BA、BS分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,設(shè)AB=SB=2,則相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為

S(0,0,2),A(0,2,0),C(2,0,0),D(2,2,0),M(0,1,0),Q(1,1,1)

從而=(1,0,1), =(2,2-2),=(0,2,0),

所以=(1,0,1)·(2,2,-2)=0,

=(1,0,1)·(0,2,0)=0,

所以,,即MQ⊥SD,MQ⊥CD.

又SD∩CD=D,所以MQ⊥平面SCD.

而MQ平面SDM，所以平面SDM⊥平面SCD.

（3）由（2）知(0,0,2)是平面ABCD的法向量

令n=(x,y,z)是平面SDM的法向量，則n·=n·=0,則=(2,2,-2), =(-2,-1,0),

所以

令x=1得y=-2,z=-1,即n=(1,-2,-1).

設(shè)α是銳二面角S-DM-C的平面角，則

cosα=|cos(n,)|=

=.

因此銳二面角S-DM-C的大小為arccos.