Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上存在關(guān)于直線x+y=1對稱的點，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對稱的兩點，C（x，y）為AB的中點．設(shè)AB的直線方程為y=kx+b．由直線AB與x+y=1垂直，得k=1，由，得到 x²+（2b-2p）x+b²=0，由此能求出實數(shù)p的取值范圍．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對稱的兩點，
C（x，y）為AB的中點．設(shè)AB的直線方程為y=kx+b．
由直線AB與x+y=1垂直，得k=1…（3分）
由，
得到 x²+（2b-2p）x+b²=0…（5分）
△=4p（p-2b）＞0，得p＞2b，…．①
…（8分）
C（p-b，y）代入y=x+b中，得到C（p-b，p）
同時C又在x+y=1上得b=2p-1…②…（10分）
由①②可得p＜，
∵p＞0，∴0＜p＜，
實數(shù)p的取值范圍是．…（12分）
點評：本題主要考查拋物線標(biāo)準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．