Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為${S_n}={2^{n+1}}-2$，數(shù)列{b_n}是首項為a₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）若${c_n}=\frac{2}{{{b_{n+2}}•{{log}_2}{a_n}}}$，數(shù)列{c_n}的前n項和為 T_n，求證：${{T}_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）運用數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，將n換為n-1，作差即可得到所求數(shù)列{a_n}的通項；再由等比數(shù)列的中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得公差為2，即可得到數(shù)列{b_n}的通項；
（2）求得${c_n}=\frac{2}{{{b_{n+2}}•{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{2}{2（n+2）•n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），再由裂項相消求和及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）{a_n}的前n項和為${S_n}={2^{n+1}}-2$，
可得a₁=S₁=4-2=2，
又S_n-1=2ⁿ-2，（n＞1），
相減可得a_n=2ⁿ，對n=1也成立．
即有a_n=2ⁿ，（n∈N^*）；
由題意可得b_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）d，
b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，可得b₁b₉=b₃²，
即為2（2+8d）=（2+2d）²，
解得d=2（0舍去），
可得b_n=2n，（n∈N^*）；
（2）證明：${c_n}=\frac{2}{{{b_{n+2}}•{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{2}{2（n+2）•n}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
前n項和為T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$）＜$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的運用，考查數(shù)列的通項和求和的關(guān)系，同時考查數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．